Ekonometria  (<- strona główna)

 

 

Model ekonometryczny

cz.2

 

Wykres będzie składał się z :

 

 Zmiennej objaśnianej Y- liczba medali olimpijskich uzyskanych przez Polaków

 

Zmiennej objaśniającej X4- liczba polskich zawodników biorąca udział w IO , którą wyznaczyłam wg procedury doboru zmiennych.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ekonometria i statystyka

 

Wykres Zawiera również prostą regresji ,która pozwala ustalić rozrzut poszczególnych wartości .Jest to zależność liniowa, a parametry funkcji zostały ustalone przez program.

 

Postać mojej funkcji:

 

Y= 0,0892 X4 + 1,4464

 

R²=0,6933

 

Następnie wyznaczam reszty modelu, które są różnicą między empirycznymi a teoretycznymi

Wartościami zmiennej objaśnianej.

 

 

Lp	ei	e²
1	-2,589522437	6,702
2	-8,876033144	78,783
3	1,838742676	3,378
4	2,944951269	8,667
5	9,052446389	81,938
6	0,748591619	0,559
7	-6,341559439	40,208
8	2,641096498	6,974
9	3,229746606	10,426
10	1,784566273	3,182
11	-0,930209547	0,864
12	0,64152534	0,410
13	-4,144342103	17,172

                         Suma             0,00            259,263

 

 

 

Se²= 23,5736

 

 Estymator wariancji składnika losowego liczony ze wzoru;

 

 

.

 

Standardowe błędy macierzy ze wzoru;

 

otrzymuję:

 

S (b1)= 0,0179

Ekonometria i statystyka

 

 

S (bo)= 3,33685

 

Ostateczna postać modelu wygląda następująco:

 

Y= 0,0892 X4+ 104464

      (0,02)             (3,37)

 

 

 

1. Badanie koincydencji:

 

Badanie koincydencji polega na zbadaniu zgodności znaku współczynnika w macierzy korelacji zmiennych ze znakiem parametru danej zmiennej.

      

- współczynnik w macierzy korelacji:          dodatni

- parametr przy zmiennej X₁:                       dodatni

 

Model  jest logiczny i można go przyjąć.            

 

 

I.                   Weryfikacja modelu:

 

1.                              Istotność parametrów strukturalnych:

 

Punkt ten ma na celu sprawdzenie, czy zmienna objaśniająca i stała mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą, czy też nie. W tym przypadku hipoteza zerowa ma postać:

 

                         H₀:

      przeciwko  H₁:

Do testu wykorzystujemy statystykę, która ma rozkład F-Fishera-Snedecora z n₁ = m oraz n₂ = n-m-1 stopniami swobody:

 

 

gdzie:

 

n - ilość obserwacji;

m – ilość zmiennych objaśniających.

 

Podstawiając do wzoru otrzymuję:

Ekonometria

 

F = 33,34775

 

oraz odczytuję z tablic F* dla a = 0,05 i n = 15 (n₁ = 1; n₂ = 15-1-1 = 13):

 

F* = 4,67

 

Ponieważ F > F*, zatem hipotezę H₀ należy odrzucić. W razie braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej należy uznać, że wszystkie m zmiennych objaśniających powinno być z modelu usunięte, wobec czego procedurę budowy modelu należy rozpocząć od nowa.

 

 

2.      Testowanie istotności poszczególnych parametrów:

 

Testowanie istotności poszczególnych parametrów wykonujemy stawiając hipotezę zerową:

 

                        H₀:

przeciwko  H₁:

 

Do testu wykorzystujemy statystykę:

 

 

gdzie:

b_i – wartość oceny parametru strukturalnego;

 s(b_i) – standardowy błąd szacunku parametru.

 

Powyższa statystyka ma rozkład t – Studenta o n – m – 1 stopniach swobody (n – liczba obserwacji, k – liczba zmiennych). Odczytujemy wartość krytyczną testu na zadanym poziomie istotności = 0,05 i dla (n – m – 1) = 13 stopni swobody:

 

t* = 2,16

 

Natomiast t₁ =  5,774751, więc  co oznacza, że zmienna X₁ ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą.

 

 

3.                              Normalność rozkładu składnika losowego:

 

W tym punkcie stosujemy test Hellwiga w celu zbadania normalności rozkładu składnika losowego. Hipoteza testowa ma tu postać:

 

Ekonometria i statystyka

 

 

H₀: reszty mają rozkład normalny

 

przeciwko H₁: reszty mają inny rozkład.

 

Wyznaczamy tu tzw. cele, którymi są przedziały liczbowe o rozpiętości 1/n (n – liczba obserwacji, czyli 15) powstałe po podzieleniu odcinka [0,1] na n równych części. W kolejnym kroku wartości dystrybuanty F przyporządkowujemy odpowiednim celom i określamy liczbę cel pustych K, tj. takich, do których nie trafia żadna wartość F. Na koniec odczytujemy wartości krytyczne K₁ i K₂. Jeżeli K Î (K₁, K₂), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀. Odchylenia losowe mają wówczas rozkład normalny. W przeciwnym przypadku hipotezę H₀ należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H₁ – rozkład odchyleń losowych nie jest normalny.

 

Odchylenie standardowe liczone wg. wzoru:

 

 

wynosi:                                                     s = 1017,139971

 

Standaryzację reszt obliczam wzorem:

 

 

Zestawienie potrzebnych danych przedstawia poniższa tabela:

 

Ekonometria i statystyka

 

 

Po podzieleniu odcinka [0,1] na n =15 części wyznaczam liczbę cel, w których nie ma żadnej wartości dystrybuanty i otrzymuję K = 5. Z tablic testu Hellwiga dla a = 0,05 i

n = 15 odczytuję wartości krytyczne K₁=2 oraz K₂=7.

 

Ponieważ 2 < K < 7, to stwierdzam brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli reszty mają rozkład normalny.

 

 

 

4.                              Badanie autokorelacji składnika losowego:

 

Testujemy w tym punkcie hipotezę o dodatniej autokorelacji:

 

                   H₀:=0         (brak autokorelacji)

 

przeciwko   H₁: >0        (dodatnia autokorelacja)

 

Do testu wykorzystujemy hipotezę Durbina-Watsona:

 

 

L.p.	ei	ei 2	ei+1 – ei	(ei+1 – ei)2
1	2239,6	5015831,78
2	-566,7	321189,5552	-2806,3	7875319,69
3	-849,3	721234,8943	-282,6	79862,76
4	323,9	104905,0133	1173,2	1376398,24
5	-801,4	642282,4338	-1125,3	1266300,09
6	-475,7	226316,549	325,7	106080,49
7	-1309,7	1715199,156	-834	695556
8	-102,1	10415,71543	1207,6	1458297,76
9	-393,3	154699,3878	-291,2	84797,44
10	-173,3	30036,96836	220	48400
11	665,2	442446,2786	838,5	703082,25
12	2148,1	4614345,868	1482,9	2198992,41
13	-676,3	457330,0403	-2824,4	7977235,36
14	102,2	10437,97672	778,5	606062,25
15	-131,2	17208,658	-233,4	54475,56
SUMA	0	14483880,27	SUMA	24530860,3

 

Podstawiając do wzoru odpowiednie wartości otrzymuję DW = 1,693666327. W przypadku, gdy m+1=2 oraz n = 15, wartości krytyczne wynoszą:

 

d_L=1,08 oraz d_U=1,36

 

Statystyka

 

Ponieważ DW > d_U stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia hipotezy H_0.

 

 

5.                              Badanie symetrii składnika losowego:

 

Niech m oznacza liczbę odchyleń in minus pomiędzy wartościami obserwowanymi Y a wyliczonymi z modelu (teoretycznymi) . Oto hipoteza dotycząca symetrii składnika losowego:

                                   H₀: frakcja reszt ujemnych = ½,

przeciwko              H₁: frakcja reszt ujemnych <> ½.

 

Weryfikujemy ją następującym testem istotności:

 

 

 

Dla n £ 30 (n – liczba obserwacji) ma on rozkład t – Studenta o n – 1 stopniach swobody. W przypadku, gdy hipoteza H₀ zostanie odrzucona, model należy zmodyfikować. W przeciwnym razie możemy wnioskować, że rozkład składnika losowego jest symetryczny.

 

 

Dla n = 15 i m = 10 otrzymuję:

 

t = 0,0253

 

Natomiast t* = 2,145. Skoro t < t^*, to nie ma podstaw na zadanym poziomie istotności, do odrzucenia hipotezy H₀. Oznacza to, że rozkład składnika losowego jest symetryczny.

 

 

6.Badanie losowości:

 

O losowości składnika losowego e_i sądzimy na podstawie reszt e_i, stawiając hipotezę:

 

                                   H₀:  e_i  (jest czysto losowy)

 

przeciwko              H₁:  e_i  (nie jest czysto losowy).

Weryfikujemy tę hipotezę testem serii, zliczając ilość serii K tych samych znaków reszt w modelu. Wartość K z wartością krytyczną z tablic testu serii:

 lub .

 Jeżeli to hipotezę o losowości składnika losowego odrzucamy i musimy model zmodyfikować. Oznaczę przez n₁ ilość reszt o znaku dodatnim (A), a przez n₂ ilość reszt o znaku ujemnym (B).

 

 

Otrzymałem ciąg symboli: ABBABBBBBBAABAB, więc K = 8.

Dla analizowanego modelu: n₁ = 5, n₂ = 10. Na poziomie istotności a = 0,05 otrzymujemy: K_a = 4. Ponieważ K_a < K, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że składniki są losowe.

 

 

7.Badanie stacjonarności składnika losowego:

 

O stacjonarności składnika losowego  sądzimy na podstawie reszt e_i, stawiając hipotezę zerową:

Ekonometria

 

 

  jest stacjonarny,

 

wobec hipotezy alternatywnej      nie jest stacjonarny.

Zatem, szacujemy wartość zależności stochastycznej między  a  t  () poprzez współczynnik korelacji r między t  a  e_t:

 

 

 

 

 

Hipotezę zerowa weryfikujemy testem t-Studenta o n-2 stopniach swobody:

 

.

 

Odrzucenie hipotezy zerowej wymaga zmodyfikowania modelu.

 

Poniższa tabela zawiera zestawienie potrzebnych danych:

 

 

Podstawiając odpowiednie wartości do wzorów otrzymuję:

 

r = 0,024;

 

Ekonometria

 

 

t = 0,085

 

Dla a = 0,05 i n = 15 otrzymuję t* = 2,16. Ponieważ t < t* , to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ co jest równoznaczne ze stwierdzeniem stacjonarności składnika losowego.

 

Ekonometria  (<- strona główna)