Ekonometria – model ekonometryczny cz.3

Praca jest zabezpieczona przed kopiowaniem – wprowadzono wiele błędów obliczeniowych aby uniemożliwić łamanie praw autorskich.

 

 

 

1.Homoscedastyczność – stałość wariancji:

 

Stawiamy hipotezę:

                                   H₀:   s₁² = s₂²  (są równe w obu grupach)

przeciwko              H₁:   s₁² <> s₂²  (nie są równe).

 

Na wykresie przedstawiam kwadraty reszt otrzymane po zastosowaniu MNK:

 

 

Próbę n = 15 dzielimy na dwie podgrupy (n₁ i n₂). Z wykresu wynika, że wariancje w tych podgrupach mogą być różne. Wariancje przyjmują szczególnie dużą wartość dla trzech spośród dwunastu pierwszych okresów. Dlatego też decyduję się przyjąć n₁=12 oraz n₂=3. Stosując MNK szacuję wektory parametrów dla pierwszych dwunastu okresów oraz dla trzech ostatnich okresów. Wszystkie obliczenia dokonuję w programie Microsoft Excel funkcją „Regresja”.

 

Hipotezę weryfikujemy wykorzystując następującą statystykę:

Statystyka

 

 

gdzie:

 - wariancja reszt modelu regresji dla podgrupy o większej wariancji;

 - wariancja reszt modelu regresji dla podgrupy o mniejszej wariancji.

 

·        Dla n₁ otrzymałem:

 

 

 

Więc: y=4,2298x + 70,509

 

 

·        Dla n₂ otrzymałem:

 

 

 

Więc: y=4,6898x + 522,56

 

 

Na podstawie tych równań wyznaczyłem reszty:

 

Obserwacja	ei	ei2		Obserwacja	ei	ei2
1	2191,054712	4800720,749		13	-365,727	133756,2
2	-637,4380021	406327,2066		14	396,4317	157158,1
3	-912,5737642	832790,8752		15	-30,7047	942,7781
4	220,6993511	48708,20356		SUMA		291857,1
5	-836,9802297	700535,9049
6	-516,5002911	266772,5507
7	-1282,399113	1644547,484
8	-202,2949538	40923,24832
9	-472,0935689	222872,3378
10	-272,6632452	74345,24529
11	586,0958616	343508,3589
12	2135,093243	4558623,158
SUMA		13940675,32

 

Obliczam S_e²:

 

S₁² = 1394067,532 oraz S₂² = 291857,1083

 

Podstawiając do wzoru na F otrzymuję:

 

F_obl = 0,209356506

 

Dla n₁ – m – 1 =10 (w liczniku) i n₂ – m – 1 = 1 (w mianowniku) oraz dla poziomu istotności a = 0,05 wartość krytyczna F* wynosi:

 

F* = 242

 

Ponieważ F_obl < F* = 242, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na poziomie istotności =0,05, co oznacza, że wariancja mojego modelu jest stała.

 

 

1.                              Analiza wpływów:

 

W danych wykorzystywanych do budowy modelu ekonometrycznego często występują obserwacje odróżniające się pewnymi cechami od pozostałych. Wyróżnia się dwa rodzaje takich obserwacji: nietypowe i wpływowe. Kryterium wyróżniającym te obserwacje są skutki ich oddziaływania na model ekonometryczny.

 

Obserwacja nietypowa charakteryzuje się dużą resztą, czyli różnicą między wartością rzeczywistą zmiennej objaśniającej a wartością teoretyczną tej zmiennej wynikającą z modelu ekonometrycznego.

 

Obserwację uważa się za wpływową, jeśli w wyniku nieznacznej zmiany jej wartości (przesuwania jej) lub usunięcia z danych znacznie zmieniają się oszacowane parametry modelu. Wartości reszt obserwacji wpływowych nie są duże.

 

Poniższa tabela przedstawia wartości bezwzględne reszt I e_i I oraz wartości zmiennej objaśniającej X₁ i zmiennej objaśnianej Y.

 

Za obserwacje nietypowe uznałem obserwację 1, 7 i 12. Teraz badam jak zmieni się model po usunięciu każdej ze zmiennych. Zmiany w parametrach modelu są pokazane w równaniu obok wykresu wraz ze współczynnikiem determinacji R².

 

Po usunięciu pierwszej obserwacji współczynnik determinacji wzrósł z 0,7195 do 0,7903 i dopasowanie modelu się poprawiło.

 

 

 

 

Po usunięciu obserwacji 7 z danych model nieznacznie się zmienił a dopasowanie modelu minimalnie się poprawiło.

 

Ekonometria i statystyka

 

 

 

 

 

 

 

 

Usuwając obserwację 12 z danych dopasowanie modelu zmienia się w najmniejszym stopniu w porównaniu z poprzednimi obserwacjami.

 

 

 

Przedstawione obserwacje są obserwacjami wpływowymi w modelu ekonometrycznym, oraz są obserwacjami nietypowymi ze względu na każdą ze zmiennych oddzielnie występujących w modelu (znacznie odbiegające reszty od pozostałych). Dobrze pokazuje to poniższy wykres, na którym zostały usunięte obserwacje 1, 7 i 12. Widzimy, że linia trendu nie zmieniła swojego kierunku w jakiś znaczący sposób, ale oszacowane parametry modelu zmieniają się znacznie.

 

 

Ekonometria i statystyka

 

 

Po usunięciu wszystkich nietypowych obserwacji dopasowanie modelu jest największe

( R² = 0,8258 ).

 

 

 

 

 

 

 

II.                Predykcja na podstawie modelu (prognoza i jej ocena):

 

Prognozowanie ilości wywiezionych odpadów komunalnych stałych w województwie zachodnio – pomorskim można przeprowadzić podstawiając do skonstruowanego modelu rzeczywistej wartości zmiennej objaśniającej:

 

Dane dla województwa zachodnio – pomorskiego:

 

Y =  3413,5

X₁ = 511

 

Model ekonometryczny ma postać:

 

Y = 4,3283X₁ - 62,7102

 

Podstawiając do modelu rzeczywistą wartość X₁ otrzymujemy:

Y = 4,3283*511 - 62,7102 = 2149,051

 

 

Błąd predykcji:

      Ekonometria i statystyka

 

     

gdzie:

Y_p – prognozowana wartość Y w woj. zachodnio – pomorskim  

Y_r – rzeczywista wartość Y w woj. zachodnio – pomorskim

 

d = ½2149,051 - 3413,5½= 1264,4

 

Błąd względny predykcji:

 

V = (d / Y_r) * 100%

 

V = (1264,4/ 3413,5) * 100% = 37,04%

 

 

 

 

 

III.             Wnioski:

 

1. Uzyskany wynik błędu względnego predykacji dyskwalifikuje sporządzony model, pod warunkiem, że występujące w badanym zjawisku masowym prawidłowości oszacowano na podstawie rozkładu cech starannie zgromadzonego materiału statystycznego.
2. Ponieważ zaufanie do zgromadzonego materiału statystycznego obciążone jest poważnymi zastrzeżeniami – stąd wnioskowanie o niedopasowaniu sporządzonego modelu ekonometrycznego jest wysoce ryzykowne.

         Zastrzeżenia do zgromadzonych danych statystycznych wynikają z następujących faktów:

a)      Ścisłą ewidencję wytwarzanych odpadów wprowadzono w roku 2001, stąd dane statystyczne o ilościach odpadów, wywiezionych z miejsc ich wytwarzania, pochodzące z roku 2000, są jedynie przybliżone;

b)      Zastosowana miara ilości wywiezionych odpadów (m³) umożliwia dokonywanie ewidencji na podstawie ilości wywiezionych odpadów stałych, zgromadzonych w pojemnikach o standaryzowanej pojemności: 110 dcm³ (0,11m³), 1.100 dcm³ (1,1 m³), 7 m³, 10 m³. Ponieważ jednak stopień wypełnienia tych pojemników nie podlega kontroli, stąd dokonywana ewidencja jest wysoce niedokładna.

c)      Zliczanie ilości wywiezionych pojemników o określonej objętości także budzi zastrzeżenia, ponieważ rzeczywiste krotności wypróżniania pojemników na odpady nie podlegają kontroli (szczególnie w skupiskach wielomieszkaniowych), ustalane są jedynie na podstawie zawartej umowy pomiędzy administratorem nieruchomości, a usługodawcą trudniącym się usuwaniem odpadów. Dane zawarte w umowie bywają zwykle tylko przybliżone, choćby z tego względu, że ustalają stałe krotności (miesięczne lub tygodniowe) opróżniania pojemników, a produktywność odpadów komunalnych nie jest stała.

3. Należy sądzić, że po okresie wprowadzenia zasady ścisłego ewidencjonowania ilości (i rodzajów) wytarzanych odpadów (rok 2001), zastosowania miary masy (Mg) oraz stosownym okresie adaptacyjnym do wypełniania tych obowiązków – dane uzyskane za rok 2002 pozwolą na bardziej wiarygodną weryfikację modelu.
4. Dane uzyskane za rok 2002 umożliwią także (w przypadku, gdyby dokonana predykcja z zastosowaniem danych ewidencyjnych za rok 2002 nadal wykazywała zbyt wysoki błąd względny predykcji) dokonanie przeliczenia według przyjętej procedury i określenia zweryfikowanej funkcji wyrażającej model.
5. Na podstawie przytoczonych wniosków należy uznać za bezcelowe poszukiwanie modyfikacji opracowanego modelu z wykorzystaniem dotychczasowych danych statystycznych. Bardziej wiarygodne należy uznać dane z roku bieżącego. Uwzględniając fakt, iż rok jeszcze się nie zakończył – tę cechę wiarygodności należałoby przypisać bardziej danym za minione półrocze, niż danym za rok 2001.

 

 

Poniżej przedstawiam wykres dopasowania otrzymanych wyników do danych rzeczywistych.

 

 

Podsumowując wnioski okazuje się, że (mimo spełnienia założeń kolejnych kroków schematu tworzenia modeli ekonometrycznych przez mój model) obliczenia dokonywane na jego podstawie są obarczone zbyt znaczącym błędem, aby można było uznać je za wiarygodne.